高中数学 导数公式证明步骤

　　4.你的
"Δy=loga(x+Δx)-logax=loga(x+Δx)/x=loga[(1+Δx/x)^x]/x"
有笔误,应该是：对函数
　　　y = log_a_x (= lnx/lna),
有
　　　Δy = log_a_(x+Δx)-log_a_x = log_a_(1+Δx/x) = ln(1+Δx/x)/lna,
而
　　　Δy/Δx = [ln(1+Δx/x)/lna]/Δx= (1/lna)*ln[(1+Δx/x)^(x/Δx)]/x = (1/xlna)*ln[(1+Δx/x)^(x/Δx)],
于是,
　　　lim(Δx→0)[Δy/Δx]
　　= [1/(xlna)]*lim(Δx→0)ln[(1+Δx/x)^(x/Δx)]
　　= [1/(xlna)]*lne = 1/(xlna).
据此,对函数
　　　y = e^ln(x^n) = e^(nlnx)
利用复合函数求导法,可得
　　　y' = e^(nlnx)*(nlnx)' = (x^n)*(n/x) = nx^(n-1).
　　5.对 y = sinx,利用三角函数的和差化积公式
　　　Δy = sin(x+Δx)-sinx=2cos(x+Δx/2)sin(Δx/2),
　　　Δy/Δx = 2[cos(x+Δx/2)sin(Δx/2)]/Δx = cos(x+Δx/2)[sin(Δx/2)/(Δx/2)],
这样,
lim(Δx→0)Δy/Δx = lim(Δx→0)cos(x+Δx/2)*lim(Δx→0)[sin(Δx/2)/(Δx/2)] = cosx*1 = cosx.
再问： 你好呀 别的都明白 就是为什么lim(Δx→0)cos(x+Δx/2)*lim(Δx→0)[sin(Δx/2)/(Δx/2)] = cosx*1 求解答&详细过程 谢谢
再答： 　　因为 　　lim(Δx→0)cos(x+Δx/2) = cosx， 　　lim(Δx→0)[sin(Δx/2)/(Δx/2)] =1。