已知：一次函数y＝12x+3的图象与正比例函数y=kx的图象相交于点A（a，1）．

（1）∵一次函数y=
1
2x+3的图象与正比例函数y=kx的图象相交于点
A（a，1），
∴
1
2a+3=1．
解得a=-4．（1分）
∴A（-4，1）．
∴-4k=1．
解得k=-
1
4．
∴正比例函数的解析式为y=-
1
4x；
（2）如图1，P₁（-8，0）或P₂（0，2）；
（3）依题意，得点B的坐标为（m，
1
2m+3），点C的坐标为（m，-
1
4m）．
作AH⊥BC于点H，H的坐标为（m，1）．
以下分两种情况：
（ⅰ）当m＜-4时，
BC=-
1
4m-（
1
2m+3）
=-
3
4m-3．
AH=-4-m．
则S_△ABC=
1
2BC•AH
=
1
2（-
3
4m-3）（-4-m）
=
3
8m²+3m+6；
（ⅱ）当m＞-4时，
BC=（
1
2m+3）+
1
4m=
3
4m+3．
AH=m+4．
则S_△ABC=
1
2BC•AH
=
1
2（
3
4m+3）（4+m）
=
3
8m²+3m+6；
综上所述，S_△ABC=
3
8m²+3m+6（m≠-4）．